程序员科普：什么是时间复杂度？

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作者
小灰

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时间复杂度的意义

究竟什么是时间复杂度呢？让我们来想象一个场景：某一天，小灰和大黄同时加入了一个公司……

一天过后，小灰和大黄各自交付了代码，两端代码实现的功能都差不多。大黄的代码运行一次要花 100 毫秒，内存占用 5MB。小灰的代码运行一次要花 100 秒，内存占用 500MB。于是……

由此可见，衡量代码的好坏，包括两个非常重要的指标：

1. 运行时间；

2. 占用空间。

基本操作执行次数

关于代码的基本操作执行次数，我们用四个生活中的场景，来做一下比喻：

场景 1：给小灰一条长 10 寸的面包，小灰每 3 天吃掉 1 寸，那么吃掉整个面包需要几天？

答案自然是 3 X 10 = 30 天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 3 X n = 3n 天。

如果用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T（n） = 3n。

场景 2：给小灰一条长 16 寸的面包，小灰每 5 天吃掉面包剩余长度的一半，第一次吃掉 8 寸，第二次吃掉 4 寸，第三次吃掉 2 寸…… 那么小灰把面包吃得只剩下 1 寸，需要多少天呢？

这个问题翻译一下，就是数字 16 不断地除以 2，除几次以后的结果等于 1？这里要涉及到数学当中的对数，以 2 位底，16 的对数，可以简写为 log16。

因此，把面包吃得只剩下 1 寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

需要 5 X logn = 5logn 天，记作 T（n） = 5logn。

场景 3：给小灰一条长 10 寸的面包和一个鸡腿，小灰每 2 天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢？

答案自然是 2 天。因为只说是吃掉鸡腿，和 10 寸的面包没有关系。

如果面包的长度是 N 寸呢？

无论面包有多长，吃掉鸡腿的时间仍然是 2 天，记作 T（n） = 2。

场景 4：给小灰一条长 10 寸的面包，小灰吃掉第一个一寸需要 1 天时间，吃掉第二个一寸需要 2 天时间，吃掉第三个一寸需要 3 天时间….. 每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢？

答案是从 1 累加到 10 的总和，也就是 55 天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 1+2+3+……+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

记作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。

上面所讲的是吃东西所花费的相对时间，这一思想同样适用于对程序基本操作执行次数的统计。刚才的四个场景，分别对应了程序中最常见的四种执行方式：

场景 1：T（n） = 3n，执行次数是线性的。

1	void eat1(int n){ for(int i=0; i<n; i++){; System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一寸面包"); }}vo

场景 2：T（n） = 5logn，执行次数是对数的。

void eat2(int n){   for(int i=1; i<n; i*=2){       System.out.println("等待一天");       System.out.println("等待一天");       System.out.println("等待一天");       System.out.println("等待一天");       System.out.println("吃一半面包");   }}

场景 3：T（n） = 2，执行次数是常量的。